Найти дифференциал dz

Для функции \( z = f\big(\ln(x^2 - y^2),\; x\,y^2\big) \) найти \(dz\).

Вывод формулы

Обозначим: \(u = \ln(x^2 - y^2)\), \(v = x\,y^2\).
По формуле полного дифференциала сложной функции: \(dz = f_u\,du + f_v\,dv\), где \(f_u=\frac{\partial f}{\partial u}\), \(f_v=\frac{\partial f}{\partial v}\) в точке \((u,v)\).
Найдём \(du\): \[ du = d\,\ln(x^2 - y^2) = \frac{1}{x^2 - y^2}\,d(x^2 - y^2) = \frac{2x\,dx - 2y\,dy}{x^2 - y^2}. \]
Найдём \(dv\): \[ dv = d(xy^2) = y^2\,dx + 2xy\,dy. \]

Итак, \[ \boxed{\;dz = f_u\,\frac{2x\,dx - 2y\,dy}{x^2 - y^2} + f_v\,(y^2\,dx + 2xy\,dy)\;},\quad \text{где } (u,v) = \big(\ln(x^2 - y^2),\; x\,y^2\big). \]

Калькулятор (по заданным значениям)

Так как функция \(f\) неизвестна, для численного значения потребуется указать частные производные \(f_u\) и \(f_v\) в точке \((u,v)\). Также учтите область определения: \(x^2 - y^2 > 0\).

u = ln(x² − y²): —

v = x·y²: —

du: —

dv: —

dz = f_u·du + f_v·dv: —